英語で新年おめでとう、という場合は、「Happy New Year」ですので。「A Happy New Year」は「よいお年を」というニュアンスなので、年が明けたら使いません。
アメリカではお歳暮や年賀状の習慣がありません。クリスマスカードを送る習慣があって、クリスマスカードに書くときに、「Merry Christmas and a Happy New Year ! 」とあることから、日本人が勝手に間違って「A Happy New Year」としてしまったのではないかと思われます。(真相はわかりませんが・・・)
でも、「A Happy Birthday!」とか「A good morning」などのようには言わないですから・・・。